El juego de Maya (Ilusión), un ejemplo matemático.

 

Hay conceptos de filosofías orientales, en especial la concepción budista, que pueden explicarse a través de las matemáticas.

En concreto, una idea fundamental, muy importante, sobre la naturaleza vacía de todos los fenómenos. En sánskrito शून्यता, śūnyatā, que se traduce como vacuidad.

 

El Conjunto de Cantor, puede servirnos, si nos gustan un poco las matemáticas.

Este conjunto se construye mediante un infinito número de pasos que realizan siempre la misma operación recursiva.

Tengamos el intervalo cerrado [0-1] le quitamos el tercio central o sea el intervalo abierto (1/3, 2/3), permaneciendo por tanto los puntos extremos 1/3 y 2/3.

Conjunto de CaNConjunto de CaN

Al conjunto resultante, que consta de 2 partes, le volvemos a quitar el tercio central y así de forma sucesiva una infinidad de veces.

En la primera iteración, el intervalo [0,1], de longitud=1  se reduce a una longitud de 2/3, porque le quitamos 1/3.
En la segunda iteración, la longitud son (2/3) de (2/3), o sea (2/3)^2.
Despues de n iteraciones, la longitud son (2/3)^n cuyo límite n->infinito es 0.

El conjunto de Cantor tiene una longitud cero, pero eso no significa que sea un conjunto vacío, sin elementos.

Sorprendentemente, tiene tantos elementos como el conjunto original, el  intervalo [0,1].

En la primera iteración, los puntos 1/3 y 2/3 no los quitamos, y ya nunca más en las sucesivas. Tenemos al menos 2 puntos. En la segunda, los puntos  1/9 , 2/9, 7/9 ,8/9 permanecen para siempre en el conjunto, o sea 4.

El número de puntos que permanecen en el conjunto son 2+4+8+16+...+2^n,  que es un conjunto infinito de puntos.

Si representamos numéricamente el intervalo [0,1], no en base decimal sino en base 3, tendremos que cualquier punto será representable por 0,abcdefgh...  donde a,b,c etc son dígitos del 0 al 2 por ejemplo 0,2100110221

En la primera iteración eliminamos todos los números que contienen el 1 como cifra decimal en el intervalo [0,1], en la segunda iteración eliminamos  los que contienen el 1 en la segunda cifra decimal en base 3. Esto equivale a ir quitando los segmentos centrales tal como hemos hecho paso a paso en el dibujo. Despues de infinitos pasos, no hemos eliminado todos los puntos, no queda un conjunto vacío, sino que quedan todos los puntos del intervalo [0,1] cuyos dígitos no contienen ningún 1, solo 0 y 2. El conjunto de Cantor son todos los puntos representables de la forma 0,0220022220...  Si cambiamos los 2 por un 1, 0,0110011110... esto corresponde al propio intervalo [0,1] representado en base 2.  ¡El Conjunto de Cantor contiene los mismos puntos que el conjunto original! Todo punto del [0,1] se corresponde con un punto del Conjunto de Cantor y viceversa.

Pero hemos quitado una infinidad de puntos... pero la longitud ha desaparecido... ¿Cómo es esto?

Es la paradoja del infinito, que la matemática ha descubierto.

 

Volvamos al Conjunto de Cantor, el todo es igual a la parte, cuando se trata de conjuntos infinitos...

 

La longitud de dicho conjunto no es una propiedad intrínseca del mismo, es lo que en filosofía budista se denomina un agregado. Al conjunto de puntos que caben en el intervalo [0,1] le podemos atribuir cualquier longitud, o área,  volumen, o sombra,  porque en sí mismo, por su propio lado no tiene ninguna. El conjunto de Cantor, es un ejemplo de la vacuidad, del agregado de la forma (rūpa) , que describen las filosofías budistas.

Al infinito le quitamos infinito, pero le anulamos su tamaño, su forma, y sin embargo permanece inalterado...  el Juego de Maya ...

 

 

ॐ पूर्णमदः पूर्णमिदं पूर्णात् पूर्णमुदच्यते ।

पूर्णस्य पूर्णमादाय पूर्णमेवावशिष्यते ॥

oṁ pūrṇam adaḥ pūrṇam idaṁ

pūrṇāt pūrṇam udacyate

pūrṇasya pūrṇam ādāya

pūrṇam evāvaśiṣyate       (Isha Upanishad)

 

Esto es perfecto, aquello es perfecto, cuando de lo perfecto tomamos lo perfecto, despues de tomar lo perfecto, es perfecto todo lo que queda. (Traducción de Swami Tilak)

Las matemáticas son una forma burda, pero tal vez útil para comprender, en un lenguaje moderno algunos aspectos de la Gran Experiencia, que describen los Sabios de la India Antigua, en el lenguaje poético de los  Upanishads.